几何平均数为什么叫几何平均数,四种平均数大小关系证明
几何平均数的名称由来
几何平均数，顾名思义，是一种平均数。但它和通常所说的算术平均数、调和平均数、平方平均数有些不同。，几何平均数为什么叫几何平均数呢？
答案在于几何平均数的计算方法。它是一组数的乘积的n次方根，其中n为这组数的个数。因为乘积的计算涉及到几何形状的面积和体积，被称为几何平均数。
四种平均数大小关系的证明
几何平均数是一种与算术平均数、调和平均数、平方平均数共同存在的平均数。，这四种平均数之间有什么大小关系呢？
- 证明算术平均数大于等于几何平均数
- 证明几何平均数大于等于调和平均数
- 证明平方平均数大于等于几何平均数
- 证明算术平均数大于等于平方平均数
设a1,a2,...,an为n个正实数，则有：
(a1+a2+...+an)/n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)
移项得：
a1+a2+...+an >= n(a1*a2*...*an)^(1/n)
两边乘以n，再开n次方，得：
(a1+a2+...+an)/n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)
即算术平均数大于等于几何平均数。
设a1,a2,...,an为n个正实数，则有：
1/a1+1/a2+...+1/an >= n/(a1+a2+...+an)
两边取倒数，得：
(a1+a2+...+an)/n >= (1/a1*1/a2*...*1/an)^(1/n)
即调和平均数的倒数大于等于几何平均数的倒数，再取倒数，得：
(1/a1+1/a2+...+1/an)/n <= (a1*a2*...*an)^(1/n)
即调和平均数小于等于几何平均数。
设a1,a2,...,an为n个正实数，则有：
(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >= (a1*a2*...*an)^(2/n)
两边开n次方，得：
(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/n) >= (a1*a2*...*an)^(1/n)
即平方平均数大于等于几何平均数。
设a1,a2,...,an为n个正实数，则有：
(a1+a2+...+an)/n >= (a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2)/n
两边平方，得：
(a1+a2+...+an)^2/n^2 >= (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
即算术平均数的平方大于等于平方平均数。
小编想说
证明，可以得出四种平均数之间的大小关系：
算术平均数 >= 平方平均数 >= 几何平均数 >= 调和平均数
这个小编要说在数学中有广泛的应用，例如在概率统计、金融学、生物学等领域。
本文看点
几何平均数、大小关系、证明